Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R）有下列觀點(diǎn)：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數(shù)倍；
②由y=f（x）的表達(dá)式可改寫(xiě)為y=4cos（2x-

π

6

）；
③y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

6

，0）對(duì)稱(chēng)；
④在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=4sin（2x+

π

3

）與y=8x+

4π

3

的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；
其中正確的觀點(diǎn)的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①函數(shù)的周期T=

2π

2

=π，函數(shù)值等于0的x之差的最小值為

T

2

，所以x₁-x₂必是

π

2

的整數(shù)倍．
②利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行判斷．
③由y=sinx的對(duì)稱(chēng)中心（kπ，0）（k為整數(shù)），即可判斷．
④利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷．

解答： 解：①因?yàn)楹瘮?shù)的周期T=

2π

2

=π，函數(shù)值等于0的x之差的最小值為

T

2

，所以x₁-x₂必是

π

2

的整數(shù)倍．所以①錯(cuò)誤．
②函數(shù)f（x）=4sin（2x+

π

3

）=cos（

π

2

-2x-

π

3

）=4cos（2x-

π

6

），所以②正確．
③由y=sinx的對(duì)稱(chēng)中心（kπ，0）（k為整數(shù)）可知，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

6

，0）對(duì)稱(chēng)，故③對(duì)；
④x=0時(shí)，y=4sin（2x+

π

3

）=2

3

，y=8x+

4π

3

=

4π

3

＞2

3

，所以函數(shù)y=4sin（2x+

π

3

）與y=8x+

4π

3

的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，屬于中檔題．