Question

已知圓C的圓心與點(diǎn)P（-2，1）關(guān)于直線y=2x+1對(duì)稱，直線3x+4y+

19

5

=0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=6，則圓C的方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：設(shè)圓心坐標(biāo)C（a，b），由已知得a+2b=0，2a-b-3=0，由此求出圓心C的坐標(biāo)為（

6

5

，-

3

5

），從而圓心C到直線AB的距離d=

| 18 5 - 12 5 + 19 5 |

9+16

=1，

1

2

|AB|=3，根據(jù)勾股定理，得r滿足：r²=d²+（

1

2

|AB|）²=10，從而能求出圓C的方程．

解答： 解：設(shè)圓心坐標(biāo)C（a，b），
由圓心C與點(diǎn)P（-2，1）關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱，得到直線CP與y=x+1垂直，
結(jié)合y=2x+1的斜率為2得直線CP的斜率為-

1

2

，
所以

1-b

-2-a

=-

1

2

，化簡得a+2b=0①，
再由CP的中點(diǎn)在直線y=2x+1上，
得到

1+b

2

=（a-2）+1，化簡得2a-b-3=0②
聯(lián)解①②，解得a=

6

5

，b=-

3

5

，
∴圓心C的坐標(biāo)為（

6

5

，-

3

5

），
∴圓心C到直線AB的距離d=

| 18 5 - 12 5 + 19 5 |

9+16

=1，
又∵

1

2

|AB|=3，
∴根據(jù)勾股定理，得r滿足：r²=d²+（

1

2

|AB|）²=10，
因此，圓C的方程為（x-

6

5

^）2+（y+

3

5

）²=10．
故答案為：（x-

6

5

^）2+（y+

3

5

）²=10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．