Question

3．某校高三4班有50名學(xué)生進(jìn)行了一場(chǎng)投籃測(cè)試，其中男生30人，女生20人．為了了解其投籃成績(jī)，甲、乙兩人分別都對(duì)全班的學(xué)生進(jìn)行編號(hào)（1-50號(hào)），并以不同的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)抽樣，其中一人用的是系統(tǒng)抽樣，另一人用的是分層抽樣．若此次投籃測(cè)試的成績(jī)大于或等于80分視為優(yōu)秀，小于80分視為不優(yōu)秀，如表是甲、乙兩人分別抽取的樣本數(shù)據(jù)：
甲抽取的樣本數(shù)據(jù)

編號(hào)	2	7	12	17	22	27	32	37	42	47
性別	男	女	男	男	女	男	女	男	女	女
投籃成 績(jī)	90	60	75	80	83	85	75	80	70	60

乙抽取的樣本數(shù)據(jù)

編號(hào)	1	8	10	20	23	28	33	35	43	48
性別	男	男	男	男	男	男	女	女	女	女
投籃成 績(jī)	95	85	85	70	70	80	60	65	70	60

（Ⅰ）在乙抽取的樣本中任取3人，記投籃優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計(jì)
男	4	2	6
女	0	4	4
合計(jì)	4	6	10

（Ⅱ）請(qǐng)你根據(jù)乙抽取的樣本數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表，判斷是否有95%以上的把握認(rèn)為投籃成績(jī)和性別有關(guān)？
（Ⅲ）判斷甲、乙各用何種抽樣方法，并根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論判斷哪種抽樣方法更優(yōu)？說(shuō)明理由．
下面的臨界值表供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （Ⅰ）在乙抽取的10個(gè)樣本中，投籃優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為4，X的取值為0，1，2，3.$P（X=k）=\frac{{C_4^kC_6^{3-k}}}{{C_{10}^3}}，k=0，1，2，3$，即可求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）寫(xiě)出2×2列聯(lián)表，求出K²，與臨界值比較，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）利用分層抽樣方法比系統(tǒng)抽樣方法的定義，可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）在乙抽取的10個(gè)樣本中，投籃優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為4，
∴X的取值為0，1，2，3.$P（X=k）=\frac{{C_4^kC_6^{3-k}}}{{C_{10}^3}}，k=0，1，2，3$
分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

$EX=0•\frac{1}{6}+1•\frac{1}{2}+2•\frac{3}{10}+3•\frac{1}{30}=\frac{6}{5}$（6分）
（Ⅱ）設(shè)投籃成績(jī)與性別無(wú)關(guān)，由乙抽取的樣本數(shù)據(jù)，得2×2列聯(lián)表如下：

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計(jì)
男	4	2	6
女	0	4	4
合計(jì)	4	6	10

（7分）
K²=$\frac{10×（4×4-0×2）^{2}}{4×6×6×4}$≈4.444＞3.841，（9分）
所以有95%以上的把握認(rèn)為投籃成績(jī)與性別有關(guān)．（10分）
（Ⅲ）甲用的是系統(tǒng)抽樣，乙用的是分層抽樣．  …（11分）
由（Ⅱ）的結(jié)論知，投籃成績(jī)與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出投籃成績(jī)與性別有明顯差異，因此采用分層抽樣方法比系統(tǒng)抽樣方法更優(yōu)．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)相交匯、X的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識(shí)，考查必然與或然思想等，屬于中檔題．