Question

12．已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=2，且f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）在R上恒有f'（x）＜1（x∈R），則不等式f（x）＞x+1的解集為（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• C． （-1，1）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x-1，g'（x）=f′（x）-1＜0，從而可得g（x）的單調(diào)性，結(jié)合f（1）=2，可求得g（1）=1，然后求出不等式的解集即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-x-1，
∵f′（x）＜1（x∈R），
∴g′（x）=f′（x）-1＜0，
∴g（x）=f（x）-x-1為減函數(shù)，
又f（1）=2，
∴g（1）=f（1）-1-1=0，
∴不等式f（x）＞x+1的解集?g（x）=f（x）-x-1＞0=g（1）的解集，
即g（x）＞g（1），又g（x）=f（x）-x-1為減函數(shù)，
∴x＜1，即x∈（-∞，1）．
故選：D．

點(diǎn)評 本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可構(gòu)造函數(shù)，考查所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)所在，屬于中檔題．