Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+lnx+（a-4）x在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（I）求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=e^2x-2ae^x+a，x∈[0，ln3]，求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）=

1

2

x²+lnx+（a-4）x 在（1，+∞）上是增函數(shù)，可得x+

1

x

+a-4≥0在（1，+∞）上恒成立，分離參數(shù)，利用基本不等式，即可確定實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)t=e^x，則g（t）=t²-2a+a=（t-a）²+a-a²，1≤t≤3，再分類討論：①2≤a≤3；②a≥3，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=x+

1

x

+a-4
∵函數(shù)f（x）=

1

2

x²+lnx+（a-4）x 在（1，+∞）上是增函數(shù)
∴x+

1

x

+a-4≥0在（1，+∞）上恒成立
∴a≥4-（x+

1

x

）恒成立
∵x+

1

x

≥2（當且僅當x=1時，等號成立）
∴4-（x+

1

x

）＜2
∴a≥2
（2）設(shè)t=e^x，則g（t）=t²-2a+a=（t-a）²+a-a²，
∵x∈[0，ln3]，∴1≤t≤3
①當2≤a≤3時，g（t）最小值為a-a²；
②當a≥3時，g（t）最小值為9-5a．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查恒成立問題，考查二次函數(shù)最值的研究，分離參數(shù)，利用配方法求二次函數(shù)的最值時關(guān)鍵．