Question

函數(shù)f（x）=x+

2a

x

．
（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
（2）若a=2，證明函數(shù)在（2，+∞）單調(diào)增；
（3）對任意的x∈（1，2），f（x）＞3恒成立，求a的范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
（2）若a=2，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)在（2，+∞）單調(diào)增；
（3）對任意的x∈（1，2），f（x）＞3恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）的最小值即可，求a的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域范圍（-∞，0）∪（0，+∞），
則f（-x）=-x-

2a

x

=-（x+

2a

x

）=-f（x）．
故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）若a=2，函數(shù)在（2，+∞）單調(diào)增；
證明：若a=2，則f（x）=x+

4

x

，
設2＜x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=x₂+

4

x1

-x₁-

4

x2

=（x₂-x₁）+

4(x2-x1)

x1x2

=

(x2-x1)(x1x2-4)

x1x2

，
∵2＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-4＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，
則f（x₂）＞f（x₁）．
故函數(shù)在（2，+∞）單調(diào)增；
（3）

由題意：對于任意x∈(1，2)，x+ 2a x ＞3恒成立． 從而對于任意x∈(1，2)， 2a x ＞3-x恒成立． 即對于任意x∈(1，2)，a＞ 3x-x2 2 恒成立…(12分) 設g(x)= 3x-x2 2 ，則當x= 3 2 時g(x)有最大值 9 8 ，…(14分) 所以，a＞ 9 8 …(15分)

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性，單調(diào)性的判斷和證明，以及不等式恒成立問題，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．