Question

已知函數f（x）=3^x，且f（a+2）=27，g（x）=2^ax-4^x的定義域為區(qū)間[-1，1]，求
（1）g（x）的解析式；
（2）若g（x）在[-1，1]上值域為A，且A⊆[m-4，3m-2]，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的值域,集合的包含關系判斷及應用,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用,集合

分析：（1）由函數解析式求出f（a+2），這樣便可建立關于a的方程，解方程即得a．
（2）將g（x）變成：g（x）=-(2x-

1

2

)2+

1

4

，根據x的范圍求2^x的范圍，這樣根據2^x的取值即可求得g（x）值域A，然后根據A⊆[m-4，3m-2]，即可求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）f（a+2）=3^a+2=27；
∴a=1；
∴g（x）=2^x-4^x；
（2）g（x）=2x-22x=-(2x-

1

2

)2+

1

4

；
∵x∈[-1，1]，∴2^x∈[

1

2

，2]；
∴2x=

1

2

時g（x）取最大值

1

4

，2^x=2時g（x）取最小值-2；
∴g（x）在[-1，1]上的值域是A=[-2，

1

4

]．
∵A⊆[m-4，3m-2]；

-2≥m-4 1≤3m-2 3m-2＞m-4

，解得1≤m≤2．
∴m的取值范圍是[1，2]．

點評：考查求函數值，根據指數函數的單調性求2^x的范圍，通過配方求二次函數值域的方法，子集的概念．