Question

設a，b，c，d∈R，求證：

a2+b2

+

c2+d2

≥

(a+c)2+(b+d)2

，等號當且僅當ad=bc時成立．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,不等式的解法及應用

分析：運用分析法證明，要證原不等式成立，可考慮兩邊平方，化簡整理，再由柯西不等式（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，即可得證．

解答： 證明：要證

a2+b2

+

c2+d2

≥

(a+c)2+(b+d)2

，
即證（

a2+b2

+

c2+d2

）²≥（

(a+c)2+(b+d)2

）²，
即為a²+b²+c²+d²+2

(a2+b2)(c2+d2)

≥（a+c）²+（b+d）²，
化簡后，即證

(a2+b2)(c2+d2)

≥ac+bd，
由柯西不等式（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，
得

(a2+b2)(c2+d2)

≥|ac+bd|≥ac+bd．
則原不等式得證．
且有原不等式中等號當且僅當ad=bc時成立．

點評：本題考查不等式的證明，考查柯西不等式的運用，以及不等式的性質(zhì)的運用，考查推理能力，屬于中檔題．