Question

“五一”期間，甲乙兩個商場分別開展促銷活動．
（1）甲商場的規(guī)則是：凡購物滿100元，可抽獎一次．從裝有大小、形狀相同的4個白球、4個黑球的袋中摸出4個球，中獎情況如下表：

摸出的結(jié)果	獲得獎金（單位：元）
4個白球或4個黑球	200
3個白球1個黑球或3個黑球1個白球	20
2個黑球2個白球	10

記X為抽獎一次獲得的獎金，求X的分布列和期望．
（2）乙商場的規(guī)則是：凡購物滿100元，可抽獎10次．其中，第n（n=1，2，3，…，10）次抽獎方法是：從編號為n的袋中（裝有大小、形狀相同的n個白球和n個黑球）摸出n個球，若該次摸出的n個球顏色都相同，則可獲得獎金5×2^n-1元．各次摸獎的結(jié)果互不影響，最終所獲得的總獎金為10次獎金之和．若某顧客購買120元的商品，不考慮其它因素，從獲得獎金的期望分析，他應該選擇哪一家商場？

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）X的所有可能數(shù)值為為200，20，10，分別求出概率，由此能求出X的分布列和期望．
（2）記Y_n（n=1，2，3，…，10）為第n次抽獎獲得的獎金，Y_n的取值為5×2^n-1，0，由E（X）＜E（Y），即在甲商場抽獎得獎金的期望值更高，故選甲商場．

解答： 解：（1）X的所有可能數(shù)值為為200，20，10，
P（X=200）=

1

35

，
P（X=20）=

C 3 4 C 1 4 + C 1 4 C 3 4

C 4 8

=

16

35

，
P（X=10）=

C 2 4 C 2 4

C 4 8

=

18

35

，
∴E（X）=

200

35

+

320

35

+

180

35

=20．
（2）記Y_n（n=1，2，3，…，10）為第n次抽獎獲得的獎金，Y_n的取值為5×2^n-1，0，
且P（Y_n=5×2^n-1）=

2 C n n

C n 2n

=

2(n!)

2n(2n-1)(2n-2)…(n+1)

，
記a_n=

2(n!)

2n(2n-1)(2n-2)…(n+1)

，
下面用數(shù)學歸納法證明an≤

1

3n+1

，
①當n=1時，a1 =1≤1=

1

30

，命題成立；
②假設(shè)當n=k（k∈N^*）時，命題成立，即ak=

2(k!)

2k(2k-1)(2k-2)…(k+1)

≤

1

3k+1

，
則當n=k+1時，ak+1=

2[(k+1)!]

(2k+2)(2k+1)(2k)…(k+2)

=

(k+1)(k+1)

(2k+2)(2k+1)

•

2(k!)

2k(2k-1)…(k+1)

≤

k+1

2(2k+1)

•

1

3k-1

，
∵k∈Z，∴由k≥1，得4k+2≥3k+3，
∴

k+1

4k+2

≤

1

3

，
a_n+1≤

k+1

2(2k+1)

•

1

3n+1

≤

1

3

×

1

3k-1

=

1

3k

，
∴n=k+1時，命題成立，
綜合①②，得an≤

1

3n+1

對一切n∈N^*，
∴E（Y_n）=5×2^n-1×a_n≤5×(

2

3

)n-1，n=1，2，3，…，10，
記Y為在乙商場抽獎獲得的總獎金，則Y=Y₁+Y₂+…+Y₁₀，
∴E（Y）=E（Y₁）+E（Y₂）+E（Y₃）+…+E（Y₁₀）≤5[1+

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n]=5×

1-( 2 3 )10

1- 2 3

=15[1-（

2

3

）¹⁰]＜15
∴E（X）＜E（Y），即在甲商場抽獎得獎金的期望值更高，故選甲商場．

點評：本題考查統(tǒng)計中的概率及期望的計算，數(shù)列的放縮和求和知識，考查閱讀理解能力，應用數(shù)學知識解決問題的能力，考查或然與必然的思想．