Question

（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，m為常數(shù)），以直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為：ρ2－2ρsinθ－4＝0，且直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn).

（1）若|AB|＝，求直線l的傾斜角；

（2）若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(,)，且滿足2，求此時直線l的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

（1）傾斜角為60°或120°；（2）x－y＝0或x＋y－2＝0.

【解析】

試題分析：（1）直線l: mx－y＋1－m＝0，圓C：x2＋(y－1)2＝5，圓心C(0, 1)，半徑r＝，

圓心C到直線l的距離d＝，

由|AB|＝2＝2d＝＝m＝±，

得到直線l的斜率k＝m＝±，傾斜角為60°或120°；

（2）得到點(diǎn)P(1, 1)，設(shè)A(x1, y1), B(x2, y2), 由2＝可得x2＝3－2x1

由 得(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0，應(yīng)用韋達(dá)定理及上式，得到A（, ）

把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓C的方程得m＝±1.

試題解析：（1）直線l: mx－y＋1－m＝0

圓C：x2＋(y－1)2＝5，圓心C(0, 1)，半徑r＝，

圓心C到直線l的距離d＝，

∵|AB|＝2＝2d＝＝m＝±，

∴直線l的斜率k＝m＝±，傾斜角為60°或120° 5分

（2）∵點(diǎn)P(1, 1)，設(shè)A(x1, y1), B(x2, y2), 則

＝(1―x1, 1―y1), ＝(x2―1, y2―1)， 2＝，

∴2(1－x1)＝x2－1x2＝3－2x1

由 得(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0，

∴ ，∴A（, ）

把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓C的方程得m2＝1 m＝±1

∴直線l的方程為x－y＝0或x＋y－2＝0 10分

考點(diǎn)：1.極坐標(biāo)與參數(shù)方程;2.直線與圓的位置關(guān)系;3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.