1.橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$(a>b>0)的兩個焦點坐標分別是(-1,0),(1,0),并且經過點($\frac{1}{2}$,$\frac{3\sqrt{5}}{4}$).
(I)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設直線l:y=kx+m(m≠0)與橢圓C交于不同的兩點A,B,且以AB為直徑的圓通過橢圓C的右頂點P,求證:直線l過定點(P點除外),并求出該定點的坐標.

分析 (I)根據橢圓性質列出方程組解出a,b;
(II)聯(lián)立方程組消元,利用根與系數(shù)的關系得出A,B坐標的關系,根據AP⊥BP列出方程得出k,m的關系代入直線方程即可得出定點坐標.

解答 解:(I)根據題意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=1}\\{\frac{1}{4{a}^{2}}+\frac{45}{16^{2}}=1}\end{array}\right.$,解得a2=4,b2=3,
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$.
(II)聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,消元得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$.
∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
∵以AB為直徑的圓通過橢圓C的右頂點P(2,0),
∴kAP•kBP=-1.即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=-1.
∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,
∴(k2+1)•$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-(km-2)•$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$+m2+4=0,
整理得:7m2+4k2+16km=0,
∴4($\frac{k}{m}$)2+16$\frac{k}{m}$+7=0,
解得$\frac{k}{m}$=-$\frac{1}{2}$或$\frac{k}{m}$=-$\frac{7}{2}$.即m=-2k或m=-$\frac{2}{7}k$.
當$\frac{k}{m}$=-$\frac{1}{2}$時,m=-2k,直線l的方程為:y=kx-2k,故直線經過定點(2,0),舍去.
當$\frac{k}{m}$=-$\frac{7}{2}$時,m=-$\frac{2k}{7}$,直線l的方程為:y=kx-$\frac{2k}{7}$,故直線經過定點($\frac{2}{7}$,0).
∴直線l過定點($\frac{2}{7}$,0).

點評 本題考查了橢圓的性質,直線與橢圓的位置關系,屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

11.已知向量$\overrightarrow{OA}$=(k,12),$\overrightarrow{OB}$=(4,5),$\overrightarrow{OC}$=(-k,0),且A,B,C三點共線,則k=-24.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

12.若平面向量$\overrightarrow a$=(1,x)和$\overrightarrow b$=(-2,1)互相平行,其中x∈R,則x=$-\frac{1}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

9.$A_6^2A_4^2$=360.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

16.已知過拋物線G:y2=2px(p>0)焦點F的直線l與拋物線G交于M,N兩點(M點在x軸上方),滿足$\overrightarrow{MF}$=3$\overrightarrow{FN}$,|MN|=$\frac{16}{3}$,則以M為圓心且與拋物線準線相切的圓的標準方程為( 。
A.(x-$\frac{1}{3}$)2+(y-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$)2=$\frac{16}{3}$B.(x-$\frac{1}{3}$)2+(y+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$)2=$\frac{16}{3}$
C.(x-3)2+(y-2$\sqrt{3}$)2=16D.(x-3)2+(y+2$\sqrt{3}$)2=16

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

6.計算$\int_0^2{(1+\sqrt{8-2{x^2}}})dx$=2+$2\sqrt{2}π$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

13.如果冪函數(shù)y=(m2-3m+3)${x^{\frac{{{m^2}-m-2}}{2}}}$的圖象不過原點,則m取值是( 。
A.m=1B.m=2C.-1≤m≤2D.m=1,或m=2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

10.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中點,AB1⊥BC1,則平面DBC1與平面CBC1所成的角為( 。
A.30°B.45°C.60°D.90°

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

11.通過隨機詢問100性別不同的大學生是否愛好某項運動,得到如下2×2列聯(lián)表:
 男總計
愛好40
不愛好25
總計45100
(Ⅰ)將題中的2×2列聯(lián)表補充完整;
(Ⅱ)能否有99%的把握認為斷愛好該項運動與性別有關?請說明理由;
(Ⅲ)利用分層抽樣的方法從以上愛好該項運動的大學生中抽取6人組建了“運動達人社”,現(xiàn)從“運動達人設”中選派3人參加某項校際挑戰(zhàn)賽,記選出3人中的女大學生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.
附:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,
p(K2≥k00.0500.0100.001
k03.8416.63510.828

查看答案和解析>>

同步練習冊答案