Question

14．一空間幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為12π+$\frac{{8\sqrt{5}}}{3}$，則該幾何體的表面積的值為（　　）

• A． 20π-8+4$\sqrt{14}$
• B． 20π+2$\sqrt{14}$
• C． 20π-8+2$\sqrt{14}$
• D． 20π+4$\sqrt{14}$

Answer 1

分析 幾何體是一個組合體，上面是一個正四棱錐，四棱錐的底面是一個對角線為4的正方形，側(cè)棱長是3，下面是一個圓柱，底面直徑是4，母線長是x，寫出幾何體的體積，得到關(guān)于x的方程，解出結(jié)果，即可求出該幾何體的表面積的值．

解答 解：由三視圖知，幾何體是一個組合體，
上面是一個正四棱錐，四棱錐的底面是一個對角線為4的正方形，
側(cè)棱長是3，根據(jù)直角三角形勾股定理知圓錐的高是$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
下面是一個圓柱，底面直徑是4，母線長是x，
∵幾何體的體積為12π+$\frac{{8\sqrt{5}}}{3}$，
∴π•4x+$\frac{1}{3}×（2\sqrt{2}）^{2}×\sqrt{5}$=12π+$\frac{{8\sqrt{5}}}{3}$，∴x=3，
∴該幾何體的表面積的值為π•2²+[π•2²-（2$\sqrt{2}$）²]+2π×2×3+4×$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{9-2}$=20π-8+4$\sqrt{14}$．
故選：A．

點評 本題考查由三視圖求幾何體的體積、表面積，考查由三視圖還原幾何體，實際上本題不是直接求體積，而是根據(jù)體積的值列出關(guān)于x的方程，解方程即可．