Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{lnx}|\;，x＞0\\{x^2}+2x-1，x≤0.\end{array}$若f（x）的圖象與直線y=ax-1有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，2）．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，求出函數(shù)在（0，-1）處的切線斜率，利用數(shù)形結(jié)合建立不等式關(guān)系即可．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
y=ax-1過(guò)定點(diǎn)（0，-1），
要使f（x）的圖象與直線y=ax-1有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，
則a＞0，
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²+2x-1，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x+2，函數(shù)在點(diǎn)（0，-1）處的切線斜率
k=f′（0）=2，
此時(shí)直線和f（x）=x²+2x-1只有一個(gè)交點(diǎn)，
由圖象知要使f（x）的圖象與直線y=ax-1有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，
則滿(mǎn)足0＜a＜2，
故答案為：（0，2）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)與方程的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．