Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+4}$是定義在[-2，2]上的奇函數(shù)，且f（1）=$\frac{1}{5}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)f（x）在[-2，2]上是增函數(shù)；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得f（m-2）+f（sinθ-2m）＜0對任意θ∈R都成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義求出b，利用f（1）=$\frac{1}{5}$，求出a，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用單調(diào)性的定義，即可證明；
（3）f（m-2）+f（sinθ-2m）＜0，可得f（m-2）＜f（-sinθ+2m），從而-2≤m-2＜-sinθ+2m≤2，即可求出m的取值范圍．

解答 （1）解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+4}$是定義在[-2，2]上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴b=0，
∵f（1）=$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{a}{5}$=$\frac{1}{5}$，
∴a=1，
∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+4}$；
（2）證明：設(shè)0≤x₁＜x₂≤2，則
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}-4）}{（{{x}_{1}}^{2}+4）（{{x}_{2}}^{2}+4）}$，
∵0≤x₁＜x₂≤2，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[0，2]上是增函數(shù)；
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）在[-2，0]上是增函數(shù)，
∴f（x）在[-2，2]上是增函數(shù)；
（3）解：f（m-2）+f（sinθ-2m）＜0，可得f（m-2）＜f（-sinθ+2m），
∴-2≤m-2＜-sinθ+2m≤2，
∴0≤m≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．