Question

16．在數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*）．
（1）求證：a_n+3=a_n；
（2）求a₂₀₁₁．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)將a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$代入計(jì)算可知a_n+3=a_n；
（2）通過(guò)（1）可知數(shù)列{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列，利用2011=670×3+1可知a₂₀₁₁=a₁=$\frac{1}{2}$．

解答 （1）證明：∵a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+3=1-$\frac{1}{{a}_{n+2}}$
=1-$\frac{1}{1-\frac{1}{{a}_{n+1}}}$
=1-$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-1}$
=-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$
=-$\frac{1}{1-\frac{1}{{a}_{n}}-1}$
=a_n，
即a_n+3=a_n；
（2）解：由（1）可知數(shù)列{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列，
∵2011=670×3+1，
∴a₂₀₁₁=a₁=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．