Question

己知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1在x=2處的切線斜率為-

1

2

．
（1）求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

（n∈N^*．n≥2）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知：f′(x)=

1

x

-a，由題知f′(2)=

1

2

-a=-

1

2

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a及f （x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）要證明

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

（n∈N^*．n≥2），只須證

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和裂項(xiàng)求和法進(jìn)行證明即可．

解答： （1）解：由已知：f′(x)=

1

x

-a，∴由題知f′(2)=

1

2

-a=-

1

2

，
解得a=1．∴f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f （x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f （x）為減函數(shù)，
即f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．
（2）證明：要證明

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

（n∈N^*．n≥2），
只須證

2ln2

22

+

2ln3

32

+…+

2lnn

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

，
只須證

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

．
由（Ⅰ）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f （x）為減函數(shù)，
f （x）=lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，lnn²＜n²-1，

lnn2

n2

＜

n2-1

n2

=1-

1

n2

＜1-

1

n(n+1)

=1-

1

n

+

1

n+1

，

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜（1-

1

2

+

1

2+1

）+（1-

1

3

+

1

3+1

）+…+（1-

1

n

+

1

n+1

）
=n-1-

1

2

+

1

n+1

=

2n2-n-1

2(n+1)

，
∴

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

（n∈N^*，n≥2）．

點(diǎn)評：本題主要考查極值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．