Question

已知在函數(shù)f（x）=mx³-x的圖象上以N（1，n）為切點的切線的傾斜角為

π

4

．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）是否存在最小的正整數(shù)k，使得不等式f（x）≤k-2013對于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，請求出最小的正整數(shù)k；如果不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求證：|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+

1

2t

），（x∈R，t＞0）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用導數(shù)的幾何意義得tan

π

4

=f′(1)，即1=3m-1，m=

2

3

，再將（1，n）代入f（x）=mx³-x求得n
（Ⅱ）不等式f（x）≤k-2013對于x∈[-1，3]恒成立，只需f（x）_min≤k-2013，轉化為求f（x）_min
（Ⅲ）方法一：利用三角函數(shù)公式得出|f(sinx)+f(cosx)|=|(

2

3

sin3x-sinx)+(

2

3

cos3x-cosx)|=

1

3

|

2

sin(x+

π

4

)|3≤

2 2

3

．利用f（x）在(

2

2

，+∞)為增函數(shù)，得出2f（t+

1

2t

）≥2f（

2?

2

）=

2 2

3

，不等式可證．
方法二：由（Ⅱ）得出的單調性，可以證出x∈[-1，1]時，-

2

3

≤f(x)≤

2

3

，即f(x)|≤

2

3

，
由于sinx，cosx∈[-1，1]所以|f(sinx)|≤

2

3

，|f(cos)|≤

2

3

，|f（sinx）+f（cosx）|≤

2 2

3

，利用f（x）在(

2

2

，+∞)為增函數(shù)，得出2f（t+

1

2t

）≥2f（

2?

2

）=

2 2

3

，不等式可證．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3mx²-1，依題意，得tan

π

4

=f′(1)，即1=3m-1，m=

2

3

∴f(x)=

2

3

x3-x，把N(1，n)代得，得n=f(1)=-

1

3

，
∴m=

2

3

，n=-

1

3

（Ⅱ）令f′(x)=2(x+

2

2

)(x-

2

2

)=0，則x=±

2

2

，
當-1＜x＜-

2

2

時，f′(x)=2x2-1＞0，f(x)在此區(qū)間為增函數(shù)
當-

2

2

＜x＜

2

2

時，f′(x)=2x2-1＜0，f(x)在此區(qū)間為減函數(shù)
當

2?

2

＜x＜3時，f′(x)=2x2-1＞0，），f（x）在此區(qū)間為增函數(shù)
又f（-

2?

2

）=

2 2

3

，f（3）=15，
因此，當x∈[-1，3]時，-

2

3

≤f(x)≤15，
要使得不等式f（x）≤k-2013對于x∈[-1，3]恒成立，則k≥15+2013=2028
所以，存在最小的正整數(shù)k=2028，
使得不等式f（x）≤k-2013對于x∈[-1，3]恒成立．
（Ⅲ）（方法一）|f(sinx)+f(cosx)|=|(

2

3

sin3x-sinx)+(

2

3

cos3x-cosx)|=|

2

3

(sin3+cos3x)-(sinx+cosx)|=|(sinx+cosx)[

2

3

(sin2x-sinxcosx+cos2x)-1]|=|sinx+cosx|•|

2

3

sinxcosx+

1

3

|=

1

3

|sinx+cosx|3=

1

3

|

2

sin(x+

π

4

)|3≤

2 2

3

．
又∵t＞0∴t+

1

2t

≥

2

，由（2）知f（x）在(

2

2

，+∞)為增函數(shù)，∴2f(t+

1

2t

)≥2f(

2

)=

2 2

3

綜上可得：|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+

1

2t

)(x∈R，t＞0)．
（方法二）由（Ⅱ）知，函數(shù)f(x)在[-1，-

2

2

]上是增函數(shù)；在[-

2

2

，

2

2

]
上是減函數(shù)，在[

2

2

，1]上是增函數(shù)
又f(-1)=

1

3

，f(-

2

2

)=

2

3

，f(

2

2

)=-

2

3

，f(1)=-

1

3

所以，當x∈[-1，1]時，-

2

3

≤f(x)≤

2

3

，即f(x)|≤

2

3

，
∵sinx，cosx∈[-1，1]∴|f(sinx)|≤

2

3

，|f(cos)|≤

2

3

．
∴|f(sinx)+f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤

2

3

+

2

3

=

2 2

3

又t＞0，∴t+

1

2t

≥

2

＞1，且函數(shù)f（x）在[1，+∞]上是增函數(shù)，
∴2f(t+

1

2t

)≥2f(

2

)=2[

2

3

(

2

)3-

2

]=

2 2

3

綜上可得：|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+

1

2t

)(x∈R，t＞0)

點評：本題考查函數(shù)的單調性與導數(shù)，函數(shù)性質的應用，不等式的證明與不等式恒成立，考查分析解決問題能力，研究出函數(shù)的性質，再應用性質解決問題需要較高的數(shù)學能力．