Question

10．已知a、b、c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：$\frac{a}{b+c-a}$，$\frac{c+a-b}$，$\frac{c}{a+b-c}$的倒數(shù)也成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 由a、b、c的倒數(shù)成等差數(shù)列可得$\frac{a}$+$\frac{c}$=2，代入化簡(jiǎn)可得$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{a+b-c}{c}$=$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$，把b=$\frac{2ac}{a+c}$，代入$\frac{c+a-b}$化簡(jiǎn)可得$\frac{1}{2}$（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$），可得2•$\frac{c+a-b}$=$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{a+b-c}{c}$，由等差數(shù)列的定義可得．

解答 證明：∵a、b、c的倒數(shù)成等差數(shù)列，
∴$\frac{2}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$，∴$\frac{a}$+$\frac{c}$=2，
∴$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{a+b-c}{c}$=$\frac{a}$+$\frac{c}{a}$-1+$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$-1
=（$\frac{a}$+$\frac{c}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）-2=$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$，
又由$\frac{2}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$可得b=$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}$=$\frac{2ac}{a+c}$，
∴$\frac{c+a-b}$=$\frac{c+a}$-1=$\frac{a+c}{\frac{2ac}{a+c}}$-1
=$\frac{（a+c）^{2}}{2ac}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+1-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$），
∴2•$\frac{c+a-b}$=$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{a+b-c}{c}$，
∴$\frac{a}{b+c-a}$，$\frac{c+a-b}$，$\frac{c}{a+b-c}$的倒數(shù)也成等差數(shù)列

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的判定，涉及分式的運(yùn)算和消元的思想，屬中檔題．