Question

2．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（α≠0）同時滿足：
①當(dāng)x=0和x=2時，y值相同；
②函數(shù)的最小值是-8；
③ax²+bx+c=0的兩根平方和等于10．
求二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 由條件可得二次函數(shù)的對稱軸x=1，及頂點（1，-8），且a＞0，再由韋達(dá)定理，得到a，b，c的關(guān)系，解方程可得f（x）的解析式．

解答 解：由①可得x=1為二次函數(shù)的對稱軸，
由②可得頂點為（1，-8），且a＞0，
設(shè)ax²+bx+c=0的兩根為m，n，
則m+n=2，
m+n=-$\frac{a}$，mn=$\frac{c}{a}$，
由③，可得m²+n²=10，
即（m+n）²-2mn=10，
即$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{2c}{a}$=10，①
a+b+c=-8，②
又-$\frac{a}$=2③
由①②③解得a=2，b=-4，c=-6．
即有f（x）的解析式為f（x）=2x²-4x-6．

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，考查韋達(dá)定理的運用，以及化簡運算求解能力，屬于中檔題．