Question

19．定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關于點（-$\frac{3}{4}$，0）成中心對稱，對任意實數(shù)x都有f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），且f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+…+f（2016）的值為0．

Answer 1

分析 由已知中定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關于點（-$\frac{3}{4}$，0）成中心對稱，對任意實數(shù)x都有f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），我們易判斷出函數(shù)f（x）是周期為3的周期函數(shù)，進而由f（-1）=1，f（0）=-2，我們求出一個周期內(nèi)函數(shù)的值，進而利用分組求和法，得到答案．

解答 解：∵f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），
∴f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），
則f（x+3）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x）
所以，f（x）是周期為3的周期函數(shù)．
則f（2）=f（-1+3）=f（-1）=1，
f（$\frac{1}{2}$）=-f（-1）=-1
∵函數(shù)f（x）的圖象關于點（-$\frac{3}{4}$，0）成中心對稱，
∴f（1）=-f（-$\frac{5}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$）=1
∵f（0）=-2
∴f（1）+f（2）+f（3）=1+1-2=0
∴f（1）+f（2）+…+f（2016）=672[f（1）+f（2）+f（3）]=0
故答案為：0

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的周期性，其中根據(jù)已知中對任意實數(shù)x都有f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），判斷出函數(shù)的周期性，是解答本題的關鍵，屬于中檔題．