Question

13．已知首項為$\frac{3}{2}$的等比數(shù)列{a_n}不是遞減數(shù)列，其前n項和為S_n（n∈N^*），且S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（-1）ⁿ⁺¹•n（n∈N^*），求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，運用等差數(shù)列的中項的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，即可得到所求；
（Ⅱ）求得a_n•b_n=（-1）^n-1•$\frac{3}{{2}^{n}}$•（-1）ⁿ⁺¹•n=3n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差數(shù)列，可得
2（S₅+a₅）=S₃+a₃+S₄+a₄，
即2（S₃+a₄+2a₅）=2S₃+a₃+2a₄，
即有4a₅=a₃，即為q²=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}$=$\frac{1}{4}$，
解得q=±$\frac{1}{2}$，
由等比數(shù)列{a_n}不是遞減數(shù)列，可得q=-$\frac{1}{2}$，
即a_n=$\frac{3}{2}$•（-$\frac{1}{2}$）^n-1=（-1）^n-1•$\frac{3}{{2}^{n}}$；
（Ⅱ）b_n=（-1）ⁿ⁺¹•n，
可得a_n•b_n=（-1）^n-1•$\frac{3}{{2}^{n}}$•（-1）ⁿ⁺¹•n=3n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
前n項和T_n=3[1•$\frac{1}{2}$+2•（$\frac{1}{2}$）²+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ]，
$\frac{1}{2}$T_n=3[1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹]，
兩式相減可得，$\frac{1}{2}$T_n=3[$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹]
=3[$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹]，
化簡可得T_n=6（1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$）．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．