分析 (1)作差法化簡an+1-an=an2-2an+1=(an-1)2,從而證明;
(2)化簡an+1=an2-an+1可得$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}({a}_{n}-1)}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$,從而可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$,從而求和,再證明不等式即可.
解答 證明:(1)∵an+1=an2-an+1,
∴an+1-an=an2-2an+1=(an-1)2≥0,
又∵a1=2,∴an+1-an>0,
∴對(duì)于n∈N*恒有an+1>an成立;
(2)∵an+1=an2-an+1,
∴an+1-1=an2-an,
即$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}({a}_{n}-1)}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$,
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$,
$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$=($\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2}-1}$)+($\frac{1}{{a}_{2}-1}$-$\frac{1}{{a}_{3}-1}$)+…+($\frac{1}{{a}_{2016}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2017}-1}$)
=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2017}-1}$=1-$\frac{1}{{a}_{2017}-1}$<1,
∵an+1-1=an2-an,
∴$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$=an≥2(當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí),等號(hào)成立),又∵a1-1=1,
∴a2017-1>22016,
故1-$\frac{1}{{2}^{2016}}$<1-$\frac{1}{{a}_{2017}-1}$,
故1-$\frac{1}{{2}^{2016}}$<$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$<1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了作差法的應(yīng)用及構(gòu)造法及裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用,屬于中檔題.
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A. | 5 | B. | 25 | C. | 4 | D. | 3 |
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