Question

3．如圖，已知AB是半圓O的直徑，O是半圓圓心，AB=8，M、N、P是將半圓圓周四等分的三個分點．
（1）從A、B、M、N、P這5個點中任取3個點，求這3個點組成等腰三角形的概率；
（2）在半圓內任取一點S，求△SOB的面積大于4$\sqrt{2}$的概率．

Answer 1

分析 （1）這是古典概型，利用列舉法進行求解即可．
（2）是幾何概型，求出對應區(qū)域的面積，結合幾何概型的概率公式進行求解即可．

解答 解：（1）從A、B、M、N、P這5個點中任取3個點，一共可以組成10個三角形：△ABM、△ABN、△ABP、△AMN、△AMP、
△ANP、△BMN、△BMP、△BNP、△MNP，
其中是等腰三角形的只有△ABN、△ABN、△BN，△MNP，4個，
所以這3個點組成等腰三角形的概率P=$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$．
（2）連接MP，取線段MP的中點D，則OD⊥MP，
易求得OD=2$\sqrt{2}$，
當S點在線段MP上時，S_△ABS=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×4=4$\sqrt{2}$，
所以只有當S點落在陰影部分時，三角形SAB面積才能大于4$\sqrt{2}$，而
S_陰影=S_扇形OMP-S_△OMP=$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$×4²-$\frac{1}{2}$×4²=4π-8，
所以由幾何概型公式得三角形SAB的面積大于4$\sqrt{2}$的概率P=$\frac{4π-8}{8π}=\frac{π-2}{2π}$．

點評 本題考查的是幾何概型和古典概型的計算，利用列舉法以及圖象法是解決幾何概型和古典概型的常用方法．