Question

14．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x²．
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）-x+1的最大值；
（2）對于任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＜x₁，是否存在實數(shù)m，使mg（x₂）-mg（x₁）-x₁f（x₁）+x₂f（x₂）恒為正數(shù)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域、導(dǎo)數(shù)h′（x），由導(dǎo)數(shù)的符號可知函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可得到最大值；
（2）mg（x₂）-mg（x₁）-x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞0恒成立，只需mg（x₂）+x₂f（x₂）＞mg（x₁）+x₁f（x₁），設(shè)φ（x）=mg（x）+xf（x）=mx²+xlnx，又0＜x₂＜x₁，則只需φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．從而有φ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上恒成立，分離出參數(shù)m后化為函數(shù)最值即可，利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的最值

解答 解：（1）函數(shù)h（x）的定義域為（0，+∞），
∵h（x）=lnx-x+1，∴h′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
當(dāng)x∈（0，1）時，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0．
∴h（x）在（0，1）上是單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h（x）_max=h（1）=0，即函數(shù)的最大值為0．
（2）若mg（x₂）-mg（x₁）-x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞0恒成立，只需mg（x₂）+x₂f（x₂）＞mg（x₁）+x₁f（x₁），
設(shè)φ（x）=mg（x）+xf（x）=mx²+xlnx，
又0＜x₂＜x₁，則只需φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴φ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上成立，得2m≤$\frac{-1-lnx}{x}$，
設(shè)t（x）=$\frac{-1-lnx}{x}$，則t′（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，知函數(shù)t（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，即t（x）_min=t（1）=-1．
∴存在實數(shù)m≤-$\frac{1}{2}$，使mg（x₂）-mg（x₁）-x₁f（x₁）+x₂f（x₂）恒為正數(shù)．

點評 該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．