Question

4．使用帶余除法證明，對任意正整數(shù)n，有（x-a）都是（xⁿ-aⁿ）的一個因式．并由此證明f（x）≡（x-a）•h（x）+f（a）．

Answer 1

分析 （xⁿ-aⁿ）=[（x-a）+a]ⁿ-aⁿ=C_n⁰（x-a）ⁿ+C_n¹（x-a）^n-1_•a+C_n²（x-a）^{n-2_•a2_+…+}C_n^n-1（x-a）^1•an-1，對任意正整數(shù)n，有（x-a）都是（xⁿ-aⁿ）的一個因式．進而可證明f（x）≡（x-a）•h（x）+f（a）．

解答 證明：（xⁿ-aⁿ）=[（x-a）+a]ⁿ-aⁿ=C_n⁰（x-a）ⁿ+C_n¹（x-a）^n-1_•a+C_n²（x-a）^{n-2_•a2_+…+}C_n^n-1（x-a）^1_•an-1₌（x-a）•[C_n⁰（x-a）^n-1+C_n¹（x-a）^n-2_•a+C_n²（x-a）^{n-3_•a2_+…+}C_n^n-1（x-a）^0•an-1]，
故對任意正整數(shù)n，有（x-a）都是（xⁿ-aⁿ）的一個因式．
∴即（x-a）|（xⁿ-aⁿ），
∴（x-a）|f（x）-f（a）．
令[f（x）-f（a）]÷（x-a）=h（x），
則f（x）≡（x-a）•h（x）+f（a）．

點評 本題考查的知識點是整除的基本性質，熟練掌握帶余除法并正確理解其內涵，是解答的關鍵．