Question

6．設函數(shù)f（x）=lnx．
（I）求函數(shù)g（x）=x-1-f（x）的極小值；
（Ⅱ）若關于x的不等式mf（x）≥$\frac{x-1}{x+1}$在[1，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）已知a∈（0，$\frac{π}{2}$），試比較f（tana）與-cos2a的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （I）求導數(shù)，確定函數(shù)的單調性，即可求函數(shù)g（x）=x-1-f（x）的極小值；
（Ⅱ）mf（x）≥$\frac{x-1}{x+1}$可化為mlnx-$\frac{x-1}{x+1}$≥0，構造函數(shù)，得出m（x+1）²-2x≥0在[1，x₀]上恒成立，即可求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）已知a∈（0，$\frac{π}{2}$），證明$\frac{lnx}{2}$＜$\frac{x-1}{x+1}$，分類討論，即可比較f（tana）與-cos2a的大小．

解答 解：（I）函數(shù)g（x）=x-1-f（x）=x-1-lnx，g′（x）=$\frac{x-1}{x}$（x＞0），
∴g（x）在（0，1）上單調遞減，（1，+∞）上單調遞增，
∴x=1時，g（x）的極小值為0；
（Ⅱ）mf（x）≥$\frac{x-1}{x+1}$可化為mlnx-$\frac{x-1}{x+1}$≥0，
令h（x）=mlnx-$\frac{x-1}{x+1}$（x≥1），則h′（x）=$\frac{m（x+1）^{2}-2x}{x（x+1）^{2}}$，
∵h（1）=0，
∴?x₀＞1，h（x）在[1，x₀]上單調遞增，
∴m（x+1）²-2x≥0在[1，x₀]上恒成立，∴m≥$\frac{1}{2}$；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知x＞1，$\frac{lnx}{2}$＞$\frac{x-1}{x+1}$．
∵0＜x＜1，∴$\frac{1}{x}$＞1
∴$\frac{ln\frac{1}{x}}{2}$＞$\frac{\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x}+1}$，
∴$\frac{lnx}{2}$＜$\frac{x-1}{x+1}$，
令x=t²，可得t＞1，lnt＞$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}+1}$，0＜t＜1，lnt＜$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}+1}$，
∵f（tana）=lntana，-cos2a=$\frac{ta{n}^{2}a-1}{ta{n}^{2}a+1}$，
∴0＜a＜$\frac{π}{4}$，0＜tana＜1，f（tana）＜-cos2a
a=$\frac{π}{4}$，tana-1，f（tana）=-cos2a，
$\frac{π}{4}$＜a＜$\frac{π}{2}$，tana＞1，f（tana）＞-cos2a．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調性與極值，考查不等式的證明，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．