Question

9．已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，底面ABC為邊長等于3的正三角形，D、M為AB、PB中點(diǎn)，且△PAM為正三角形．
（1）求證：平面DMC⊥平面PAB；
（2）求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）證明DM⊥平面ABC，即可證明平面DMC⊥平面PAB；
（2）利用等體積求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

解答 （1）證明：∵D、M為AB、PB中點(diǎn)，
∴DM∥PA，
∵PA⊥平面ABC，
∴DM⊥平面ABC，
∵DM?平面DMC，
∴平面DMC⊥平面PAB；
（2）解：∵△PAM為正三角形，底面ABC為邊長等于3的正三角形，
∴PA=$\sqrt{3}$，PB=2$\sqrt{3}$，
∴PC=2$\sqrt{3}$，BC=3，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}×3×\sqrt{12-\frac{9}{4}}$=$\frac{3\sqrt{39}}{4}$
設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{39}}{4}h$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}×\sqrt{3}$，
∴h=$\frac{3\sqrt{39}}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直、平面與平面垂直的判定，考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，屬于中檔題．