Question

設(shè)函數(shù)，其中，為正整數(shù)，，，均為常數(shù)，曲線在處的切線方程為.
（1）求，，的值；     
（2）求函數(shù)的最大值；
（3）證明：對任意的都有.（為自然對數(shù)的底）

Answer 1

（1）;（2）;（3）見解析.

試題分析：（1）在切點(diǎn)處的的函數(shù)值 ，就是切線的斜率為，可得；根據(jù)切點(diǎn)適合切線方程、曲線方程，可得，.
（2）求導(dǎo)數(shù)，求駐點(diǎn)，討論區(qū)間函數(shù)單調(diào)性，確定最值.
（3）本小題有多種思路，一是要證對任意的都有只需證；
二是令，利用導(dǎo)數(shù)確定，
轉(zhuǎn)化得到．
令，證明．
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240500350151002.png" style="vertical-align:middle;" />，                     1分
所以 ，又因?yàn)榍芯�的斜率為，所以       2分
，由點(diǎn)（1,c）在直線上，可得，即        3分
                               4分
（2）由（1）知，，所以
令，解得，即在（0，+上有唯一零點(diǎn)       5分
當(dāng)0<<時(shí)，，故在（0，）上單調(diào)遞增；          6分
當(dāng)>時(shí)，，故在（，+上單調(diào)遞減；           7分
在（0，+上的最大值===     8分
（3）證法1：要證對任意的都有只需證
由（2）知在上有最大值，= ，故只需證   9分
，即 ①                      11分
令，則，①即 ②               13分
令，則
顯然當(dāng)0<t<1時(shí)，，所以在（0，1）上單調(diào)遞增，
所以，即對任意的 ②恒成立，
所以對任意的都有    14分
證法2：令，則．           10分
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；
而當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增．
在上有最小值，．
，即.                        12分
令，得，即，所以，即.
由（2）知，，故所證不等式成立．                14分