Question

8．如圖，扇形AOB是一個植物園的平面示意圖，其中∠AOB=$\frac{2π}{3}$，半徑OA=OB=1km，為了便于游客觀賞，擬在圓內(nèi)鋪設(shè)一條從入口A到出口B的觀賞道路，道路由弧$\widehat{AC}$，線段CD，線段DE和弧$\widehat{EB}$組成，且滿足：$\widehat{AC}$=$\widehat{EB}$，CD∥AO．DE∥OB，OD∈[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]（單位：km），設(shè)∠AOC=θ．
（1）用θ表示CD的長度，并求出θ的取值范圍；
（2）當θ為何值時，觀賞道路最長？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的角和邊的關(guān)系，利用正弦定理，求得用θ表示OD和CD的長度，利用CD的取值范圍，即可求得θ的取值范圍；
（2）首先將道路長度L（θ）表達成θ的函數(shù)關(guān)系式，再利用導數(shù)方法研究函數(shù)的最大值，從而可以求得θ=$\frac{π}{6}$時，觀光道路最長．．

解答 解：（1）AC=EB，CD∥AO．DE∥OB，
∴∠AOD=$\frac{π}{3}$，
于是在△OCD中，OC=1，∠AOB=$\frac{2π}{3}$，∠AOC=θ．∠COD=$\frac{π}{3}$-θ，
由正弦定理可知：$\frac{OD}{sin∠OCD}$=$\frac{CD}{sin∠COD}$=$\frac{OC}{sin∠CDO}$=2R，
$\frac{OD}{sinθ}$=$\frac{CD}{sin（\frac{π}{3}-θ）}$=$\frac{OC}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴OD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinθ，CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-θ），
∵OD∈[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]，即$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinθ≤$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$≤sinθ≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜θ≤$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{4}$，
故CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-θ），（$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{4}$），
（2）由（1）可知，觀賞道理長L=2（$\widehat{AC}$+CD）=2θ+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-θ），（$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{4}$），
∴L=2θ+2cosθ-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinθ，
L′=2-2sinθ-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cosθ，
=2-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$cos（θ-$\frac{π}{3}$），
L′=0，得cos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{4}$，θ=$\frac{π}{6}$，
∵當$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{4}$時，$-\frac{π}{6}$＜θ-$\frac{π}{3}$≤-$\frac{π}{12}$，
L′=2-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$cos（θ-$\frac{π}{3}$）＜0，
∴當θ=$\frac{π}{6}$時，L取得最大值，即觀賞道路最長．

點評 本題考查解決了正弦定理，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系在實際生活中的應(yīng)用，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用導數(shù)確定函數(shù)的最值，屬于中檔題．