Question

3．已知m∈R，設(shè)p：x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的兩個(gè)實(shí)根，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|對(duì)任意的實(shí)數(shù)a∈[-1，1]恒成立，q：函數(shù)f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{4}{3}$）x+6在R上有極值，若非p或非q為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)一元二次方程以及一元二次不等式恒成立的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化先求出p的取值范圍，然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系求出q的取值范圍，結(jié)合復(fù)合命題真假關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由題設(shè)x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的兩個(gè)實(shí)根，得x₁+x₂=a且x₁x₂=-2，
所以|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+8}$，
當(dāng)a∈[-1，1]時(shí)，a²+8的最大值為9，即|x₁-x₂|≤3．
由題意，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|
對(duì)任意的實(shí)數(shù)a∈[-1，1]恒成立的m的解集等于不等式|m²-5m-3|≥3的解集，
由此不等式得m²-5m-3≤-3①或m²-5m-3≥3②
不等式①的解集為0≤m≤5．
不等式②的解集為m≤-1或m≥6．
因此，當(dāng)m≤-1或0≤m≤5或m≥6時(shí)，p是正確的…（5分）
（2）對(duì)函數(shù)f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{4}{3}$）x+6，求導(dǎo)得f′（x）=3x²+2mx+m+$\frac{4}{3}$．
令f′（x）=0，即3x²+2mx+m+$\frac{4}{3}$=0．
此一元二次方程的判別式
△=4m²-12（m+$\frac{4}{3}$）=4m²-12m-16．
若△=0，則f′（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且f′（x）的符號(hào)如下：

x	（-∞，x0）	x0	（x0，+∞）
f′（x）	+	0	+

因此，f′（x₀）不是函數(shù)f（x）的極值，
若△＞0，則f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x₁和x₂（x₁＜x₂），且f′（x）的符號(hào)如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+

因此，函數(shù)f（x）在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值．
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)△＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上有極值．
由△=4m²-12m-16＞0，得m＜-1或m＞4．
因此，當(dāng)m＜-1或m＞4時(shí)，q是正確的．
綜上，使p且q真，即非p或非q假時(shí)，…（10分）
實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-1）∪（4，5]∪[6，+∞）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立以及函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查復(fù)合命題真假關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)條件求出命題p，q的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，涉及的內(nèi)容較多．