Question

13．已知曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，A，B的極坐標(biāo)分別為A（2，π），$B（2，\frac{4π}{3}）$．
（Ⅰ）求直線AB的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)M為曲線C上的動點，求點M到直線AB距離的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得A，B的直角坐標(biāo)，求得AB的斜率，由點斜式方程可得直線方程；
（Ⅱ）運用點到直線的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式，由正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ） 將A、B化為直角坐標(biāo)為A（2cosπ，2sinπ）、$B（2cos\frac{4π}{3}，2sin\frac{4π}{3}）$，
即A、B的直角坐標(biāo)分別為A（-2，0）、$B（-1，-\sqrt{3}）$，
即有${k_{AB}}=\frac{{-\sqrt{3}-0}}{-1+2}=-\sqrt{3}$，
可得直線AB的方程為$y-0=-\sqrt{3}（x+2）$，
即為$\sqrt{3}x+y+2\sqrt{3}=0$．
（Ⅱ）設(shè)M（2cosθ，sinθ），
它到直線AB距離$d=\frac{{|2\sqrt{3}cosθ+sinθ+2\sqrt{3}|}}{2}$
=$\frac{{|\sqrt{13}sin（θ+φ）+2\sqrt{3}|}}{2}$，（其中$tanφ=2\sqrt{3}$）
當(dāng)sin（θ+φ）=1時，d取得最大值，
可得${d_{max}}=\frac{{\sqrt{13}+2\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化，直線方程的求法和運用，同時考查三角函數(shù)的輔助角公式和正弦函數(shù)的值域的運用，屬于中檔題．