Question

7．如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形AA₁B₁B為邊長為2的正方形，四邊形BB₁C₁C為菱形，∠BB₁C₁=60°，平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C，點E、F分別是B₁C，AA₁的中點．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）求二面角B-AC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BB₁的中點H，連結(jié)EH，F(xiàn)H，推導(dǎo)出平面ABC∥平面EHF，由此能證明EF∥平面ABC．
（2）以B為坐標原點，$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{B{B_1}}$分別為x軸，y軸正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-AC₁-C的余弦值．

解答 證明：（1）取BB₁的中點H，連結(jié)EH，F(xiàn)H，
∵點E、F分別是B₁C，AA₁的中點，
∴EH∥BC，F(xiàn)H∥AB，
∵AB∩BC=B，EH∩FH=H，
AB，BC?平面ABC，EH，F(xiàn)H?平面EHF，
∴平面ABC∥平面EHF，
∵EF?平面EHF，∴EF∥平面ABC．
解：（2）以B為坐標原點，$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{B{B_1}}$分別為x軸，y軸正方向，建立空間直角坐標系，
由題意知A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，-1，$\sqrt{3}$），C₁（0，1，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BA}$=（2，0，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（-2，-1，$\sqrt{3}$），
設(shè)平面BAC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=$（0，-\sqrt{3}，1）$，
設(shè)平面AC₁C的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-2x-y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=-2x+y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{m}$=$（\sqrt{3}，0，2）$，
設(shè)二面角B-AC₁-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角B-AC₁-C的余弦值為$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間想象能力、推理論證能力、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．