Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+$\frac{a+4}{x}$（a∈R）為奇函數(shù)，函數(shù)g（x）=f（log_x2）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程g（x）=m+（log₂x）²在區(qū)間[2，8]上有解，求實(shí)數(shù)m的最大值．
（3）求證：當(dāng)x∈[2，4]時，（e^x+1）[g（x）-f（x²）]＞e^x+11．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，便有f（-x）=-f（x），這樣即可求得a=0；
（2）求出g（x）=4log₂x，帶入方程中并整理可得$（lo{g}_{2}x）^{2}-4lo{g}_{2}x+m=0$，這樣可以想著換元得到t²-4t+m=0在[1，3]上有解，根據(jù)有解便有△≥0，可得到m≤4，只需判斷m能否取到4，從而得出m的最大值；
（3）將g（x），f（x²）帶入原不等式便可以得到其等價不等式$4（lo{g}_{2}x-\frac{1}{{x}^{2}}）＞1+\frac{10}{{e}^{x}+1}$，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可以判斷出函數(shù)u（x）=$4（lo{g}_{2}x-\frac{1}{{x}^{2}}）$，及v（x）=$1+\frac{10}{{e}^{x}+1}$的單調(diào)性，從而求出u（x）在[2，4]上的最小值，v（x）的最大值，只要最小值大于最大值即可說明原不等式成立．

解答 解：（1）f（x）為奇函數(shù)；
∴$f（-x）=a{x}^{2}-\frac{a+4}{x}=-a{x}^{2}-\frac{a+4}{x}$；
∴ax²=-ax²；
∴a=0；
∴f（x）=$\frac{4}{x}$；
（2）$g（x）=f（\frac{1}{lo{g}_{2}x}）=4lo{g}_{2}x$；
∴原方程變成$（lo{g}_{2}x）^{2}-4lo{g}_{2}x+m=0$；
令log₂x=t，t∈[1，3]；
∴方程t²-4t+m=0在[1，3]上有解；
∴△=16-4m≥0；
∴m≤4；
m=4時，解t²-4t+4=0得t=2∈[1，3]；
∴實(shí)數(shù)m的最大值為4；
（3）證明：$g（x）=4lo{g}_{2}x，f（{x}^{2}）=\frac{4}{{x}^{2}}$；
∴（e^x+1）[g（x）-f（x²）]＞e^x+11?$（{e}^{x}+1）（4lo{g}_{2}x-\frac{4}{{x}^{2}}）＞{e}^{x}+1+10$?$4（lo{g}_{2}x-\frac{1}{{x}^{2}}）＞1+\frac{10}{{e}^{x}+1}$；
設(shè)$u（x）=4（lo{g}_{2}x-\frac{1}{{x}^{2}}）$，$v（x）=1+\frac{10}{{e}^{x}+1}$，則：
$u′（x）=4（\frac{1}{xln2}+\frac{2}{{x}^{3}}）$，$v′（x）=-\frac{10{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$；
∵x∈[2，4]；
∴u′（x）＞0，v′（x）＜0；
∴u（x）在[2，4]上遞增，v（x）在[2，4]上遞減；
∴u（x）_min=u（2）=3，$v（x）_{max}=v（2）=1+\frac{10}{{e}^{2}+1}＜3$；
∴u（x）＞v（x）；
即$4（lo{g}_{2}x-\frac{1}{{x}^{2}}）＞1+\frac{10}{{e}^{x}+1}$；
∴原不等式成立．

點(diǎn)評 考查奇函數(shù)的定義，對數(shù)式的換底公式，換元法的運(yùn)用，注意換元后變量的范圍，二次函數(shù)有解時判別式△的取值情況，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，要正確求導(dǎo)．