【題目】設數(shù)列的前n項和為，已知，．

（1）求的值；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）令，，證明：對任意，均有（要求不得使用數(shù)學歸終法）．

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）直接將代入已知等式即可得的值；

（2）將已知等式化簡為，再寫一式，兩式相減，即可求數(shù)列是以首項為1，公差為1的等差數(shù)列，求出，即求出數(shù)列的通項公式；

（3）易得，令數(shù)列的前項和為，求出得通項公式，利用作差法判斷，綜合即得結果.

（1）∵，

∴當時，，

又，∴.

（2）∵．

∴，①

∴當時，，②

由①-②，得，

∵，∴，

∴，

∴數(shù)列是以首項為1，公差為1的等差數(shù)列，

∴，∴，

當時，上式顯然成立，

∴.

（3）∵，∴，

∴，

，

令數(shù)列的前項和為，

從而，

當時，，

又

，

即對任意的，有，

又因為，所以，

則，故原不等式成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)．（且）

（1）分別判斷當及時函數(shù)的奇偶性；

（2）在且的條件下，將（1）的結論加以推廣，使命題（1）成為推廣后命題的特例，并對推廣的結論加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某房地產公司新建小區(qū)有A、B兩種戶型住宅，其中A戶型住宅每套面積為100平方米，B戶型住宅每套面積為80平方米，該公司準備從兩種戶型住宅中各拿出12套銷售給內部員工，表是這24套住宅每平方米的銷售價格：（單位：萬元平方米）：

房號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A戶型

2.6

2.7

2.8

2.8

2.9

3.2

2.9

3.1

3.4

3.3

3.4

3.5

B戶型

3.6

3.7

3.7

3.9

3.8

3.9

4.2

4.1

4.1

4.2

4.3

4.5

（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，完成下列莖葉圖，并分別求出A，B兩類戶型住宅每平方米銷售價格的中位數(shù)；

A戶型

B戶型

2.

3.

4.

（2）該公司決定對上述24套住房通過抽簽方式銷售，購房者根據(jù)自己的需求只能在其中一種戶型中通過抽簽方式隨機獲取房號，每位購房者只有一次抽簽機會，小明是第一位抽簽的員工，經測算其購買能力最多為320萬元，抽簽后所抽得住房價格在其購買能力范圍內則確定購買，否則，將放棄此次購房資格，為了使其購房成功的概率更大，他應該選擇哪一種戶型抽簽？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為推動文明城市創(chuàng)建，提升城市整體形象，2018年12月30日鹽城市人民政府出臺了《鹽城市停車管理辦法》，2019年3月1日起施行.這項工作有利于市民養(yǎng)成良好的停車習慣，幫助他們樹立綠色出行的意識，受到了廣大市民的一致好評.現(xiàn)從某單位隨機抽取80名職工，統(tǒng)計了他們一周內路邊停車的時間t（單位：小時），整理得到數(shù)據(jù)分組及頻率分布直方圖如下：

（1）從該單位隨機選取一名職工，試估計這名職工一周內路邊停車的時間少于8小時的概率；

（2）求頻率分布直方圖中a，b的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點．

（1）為坐標原點，求證：；

（2）設點在線段上運動，原點關于點的對稱點為，求四邊形面積的最小值

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）設時，求的導函數(shù)的遞增區(qū)間；

（2）設 ，求的單調區(qū)間；

（3）若 對 恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列命題錯誤的是（ ）

A.兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近于1

B.設，且，則

C.在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬帶越狹窄，其模型擬合的精度越高

D.已知變量x和y滿足關系，變量y與z正相關，則x與z負相關

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)集具有性質；對任意的、，，與兩數(shù)中至少有一個屬于．

（1）分別判斷數(shù)集與是否具有性質，并說明理由；

（2）證明：，且；

（3）當時，若，求集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2020年開始，國家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中語文、數(shù)學、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科目滿分100分.為了應對新高考，某高中從高一年級1000名學生（其中男生550人，女生 450 人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取名學生進行調查.

（1）已知抽取的名學生中含女生45人，求的值及抽取到的男生人數(shù)；

（2）學校計劃在高一上學期開設選修中的“物理”和“地理”兩個科目，為了了解學生對這兩個科目的選課情況，對在（1）的條件下抽取到的名學生進行問卷調查（假定每名學生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），下表是根據(jù)調查結果得到的列聯(lián)表. 請將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有 99%的把握認為選擇科目與性別有關？說明你的理由；

（3）在抽取的選擇“地理”的學生中按分層抽樣再抽取6名，再從這6名學生中抽取2人了解學生對“地理”的選課意向情況，求2人中至少有1名男生的概率.

0.05

0.01

3.841

6.635

參考公式：.

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