Question

【題目】拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點．

（1）為坐標原點，求證：；

（2）設(shè)點在線段上運動，原點關(guān)于點的對稱點為，求四邊形面積的最小值

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）時，四邊形的面積最小，最小值是．

【解析】

試題（1）先利用已知條件設(shè)出直線AB的方程，與拋物線聯(lián)立方程組，然后結(jié)合韋達定理表示出向量的數(shù)量積，進而證明。

（2）根據(jù)由點與原點關(guān)于點對稱，得是線段的中點，從而點與點到直線的距離相等，得到四邊形的面積等于，結(jié)合三角形面積公式得到。

（Ⅰ）解：依題意，設(shè)直線方程為． …………1分

將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去得．……3分

設(shè)，，所以，．

=1，

故．………………6分

（Ⅱ）解：由點與原點關(guān)于點對稱，得是線段的中點，從而點與點到直線的距離相等，所以四邊形的面積等于．……8分

因為……………9分

，…………11分

所以時，四邊形的面積最小，最小值是． ……12分