Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n+S_n=n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）b_n=log

1

2

（1-a_n），設T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

（n∈N^*），求T_n的最簡表達式．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用“當n=1時，a₁=S₁，可得a₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”及等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)、“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n+S_n=n，∴當n=1時，a₁+a₁=1，解得a1=

1

2

．
當n≥2時，a_n-1+S_n-1=n-1，
∴2a_n-a_n-1=1，
∴an-1=

1

2

(an-1-1)，
∴數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，首項a₁-1=-

1

2

，公比為

1

2

．
∴a_n-1=-

1

2n

．
∴a_n=1-

1

2n

．
（2）∵b_n=log

1

2

（1-a_n）=log

1

2

(1-1+

1

2n

)=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查了利用“當n=1時，a₁=S₁，可得a₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”求數(shù)列通項公式、等比數(shù)列的通項公式、對數(shù)的運算性質(zhì)、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．