Question

11．如圖，橢圓C的左、右焦點分別為F₁、F₂，過F₂的直線l交C于A，B兩點，△ABF₁的周長為8，且F₂與拋物線y²=4x的焦點重合．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點M，且$\overrightarrow{MA}$=λ$\overrightarrow{A{F}_{2}}$，$\overrightarrow{MB}$=μ$\overrightarrow{B{F}_{2}}$，求λ+μ的值；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)t，使得|AF₂|+|BF₂|=t|AF₂|•|BF₂|恒成立？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，拋物線y²=4x的焦點為F₂（1，0），可得c．由△ABF₁的周長為8，可得4a=8，解得a．再利用b²=a²-c²即可得出．
（II）由題意可設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），則M（0，-k），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得$λ=\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，μ=$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$，即可得出λ+μ．
（III）分類討論：當(dāng)直線l⊥x軸時，l的方程為：x=1．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，解得A，B．即可得出t=$\frac{4}{3}$．當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為：y=k（x-1），不妨設(shè)x₂＞1＞x₁，則|AF₂|=$|{x}_{1}-1|•\sqrt{1+{k}^{2}}$，|BF₂|=$|{x}_{2}-1|•\sqrt{1+{k}^{2}}$，x₂-x₁=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，即可得出$\frac{1}{|A{F}_{2}|}+\frac{1}{|B{F}_{2}|}$=$\frac{4}{3}$．

解答 解：（I）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，拋物線y²=4x的焦點為F₂（1，0），∴c=1．
∵△ABF₁的周長為8，∴4a=8，解得a=2．
∴b²=a²-c²=3．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）由題意可設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），則M（0，-k），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，
則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{k}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{MA}$=λ$\overrightarrow{A{F}_{2}}$，可得（x₁，y₁+k）=λ（1-x₁，-y₁），
∴$λ=\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，
由$\overrightarrow{MB}$=μ$\overrightarrow{B{F}_{2}}$，同理可得μ=$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$，
∴λ+μ=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}+\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{1-（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-\frac{8（{k}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}}{1-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+\frac{4（{k}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}}$=-$\frac{8}{3}$．
∴λ+μ=$-\frac{8}{3}$．
（III）①當(dāng)直線l⊥x軸時，l的方程為：x=1．由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，解得A$（1，\frac{3}{2}）$，B$（1，-\frac{3}{2}）$．
∴|AF₂|=|BF₂|=$\frac{3}{2}$，
∴|AF₂|+|BF₂|=3，|AF₂|•|BF₂|=$\frac{9}{4}$，
可得：|AF₂|+|BF₂|=$\frac{4}{3}$|AF₂|•|BF₂|．此時t=$\frac{4}{3}$．
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為：y=k（x-1），
不妨設(shè)x₂＞1＞x₁，則|AF₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{y}_{1}^{2}}$=$|{x}_{1}-1|•\sqrt{1+{k}^{2}}$，|BF₂|=$\sqrt{（{x}_{2}-1）^{2}+{y}_{1}^{2}}$=$|{x}_{2}-1|•\sqrt{1+{k}^{2}}$，
x₂-x₁=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{16（{k}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{12\sqrt{1+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$，
∴$\frac{1}{|A{F}_{2}|}+\frac{1}{|B{F}_{2}|}$=$\frac{1}{|{x}_{1}-1|\sqrt{1+{k}^{2}}}$+$\frac{1}{|{x}_{2}-1|\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$（\frac{1}{1-{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}-1}）•\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}-{x}_{1}{x}_{2}-1}$$•\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{\frac{12\sqrt{1+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}}{\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-\frac{4（{k}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}-1}$×$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{4}{3}$．
即得：|AF₂|+|BF₂|=$\frac{4}{3}$|AF₂|•|BF₂|．
故存在實數(shù)t=$\frac{4}{3}$，使得|AF₂|+|BF₂|=$\frac{4}{3}$|AF₂|•|BF₂|．

點評 本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運(yùn)算、弦長公式，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題．