【題目】已知,函數(shù).
(1)經(jīng)過原點分別作曲線、的切線,若兩切線的斜率互為倒數(shù),證明:;
(2)設(shè),當(dāng)時,恒成立,試求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)設(shè)切線,切點為.
則,,
,
由題意,知切線的斜率為,方程為.
設(shè)曲線的切點為.
則.
又,消去、后,整理得:.
令.則:.
于是,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.
若,由,,則.
而在上單調(diào)遞減,故.
若,因為在區(qū)間上單調(diào)遞增,且,
所以,,這與題設(shè)矛盾.
綜上,.
(2)注意到,.
(i)當(dāng)時,由,則.
于是,在區(qū)間上遞增,恒成立,符合題意.
(ii)當(dāng)時,由,且
,
則在區(qū)間上遞增.
又,則存在,使得.
于是,在區(qū)間上遞減,在區(qū)間遞增.
又,此時,不恒成立,不符合題意.
綜上,實數(shù)的取值范圍是.
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【題目】已知數(shù)列的前項和為,且.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,證明:.
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【題目】某投資公司在年年初準(zhǔn)備將萬元投資到“低碳”項目上,現(xiàn)有兩個項目供選擇:
項目一:新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研,投資到該項目上,到年底可能獲利,也可能虧損,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和;
項目二:通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研,投資到該項目上,到年底可能獲利,可能損失,也可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為、和.
針對以上兩個投資項目,請你為投資公司選擇一個合理的項目,并說明理由.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,F(xiàn)C=4,AE=5,求此幾何體的體積.
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【題目】已知不經(jīng)過原點的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,且點在直線上.
(1)求直線的方程;
(2)過點作直線,若直線,與軸圍成的三角形的面積為2,求直線的方程.
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【題目】在數(shù)列中,若(,,p為常數(shù)),則稱為“等方差數(shù)列”.下列對“等方差數(shù)列”的判斷,其中正確的為( )
A.若是等方差數(shù)列,則是等差數(shù)列
B.若是等方差數(shù)列,則是等方差數(shù)列
C.是等方差數(shù)列
D.若是等方差數(shù)列,則(,k為常數(shù))也是等方差數(shù)列
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【題目】對于任意給定的無理數(shù)、及實數(shù),證明:圓周上至多只有兩個有理點(縱、橫坐標(biāo)均為有理數(shù)的點)。
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【題目】如圖,在中,X、Y為直線BC上兩點(X、B、C、Y順次排列),使得.設(shè)的外心分別為,直線與AB、AC分別交于點U、V.證明:為等腰三角形.
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