【題目】對于任意給定的無理數(shù)及實數(shù),證明:圓周上至多只有兩個有理點(縱、橫坐標(biāo)均為有理數(shù)的點)。

【答案】見解析

【解析】

對于點,用表示上述圓周上有理點的個數(shù).

首先,可以作一個符合條件得圓,其上至少有兩個有理點,

為此,取點.則線段中垂線.

在直線上取點,再取.則以為圓心、為半徑的圓周上至少有、這連個有理點.

其次說明,對于任何無理點以及任意正實數(shù),.

假設(shè)有無理點及正實數(shù),在以為圓心、為半徑的圓周上,至少有三個有理點.

. ①

, ②

,.

.

(1)若,則由式②知.

為無理數(shù),得.故點重合,矛盾.

類似地,若,得點重合,矛盾.

(2)若,,由式②、③消去

.

為無理數(shù),故.

、、三點共線,這與、三點共圓矛盾.

因此,假設(shè)不真,即這種圓上至多有兩個有理點.

于是,對于所有的無理點及所有正實數(shù)的最大值為2.

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