Question

18．設(shè)m為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x²+（x-m）|x-m|，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{f（x）}{x}，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$．若h（x）對(duì)于一切x∈[1，3]，不等式h（x）≥1恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤2．

Answer 1

分析 當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，h（x）=$\frac{2{x}^{2}+（x-m）|x-m|}{x}$，分類討論以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值，化簡(jiǎn)恒成立問題為最值問題即可．

解答 解：當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，
f（x）=2x²+（x-m）|x-m|，
h（x）=$\frac{2{x}^{2}+（x-m）|x-m|}{x}$，
當(dāng)m≤1時(shí)，
h（x）=$\frac{2{x}^{2}+（x-m）^{2}}{x}$=3x+$\frac{{m}^{2}}{x}$-2m
≥3+$\frac{{m}^{2}}{x}$-2m≥1，
故不等式h（x）≥1恒成立；
當(dāng)1＜m＜3時(shí)，
h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{{m}^{2}}{x}+2m，1≤x≤m}\\{3x+\frac{{m}^{2}}{x}-2m，m＜x≤3}\end{array}\right.$，
由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性及分段函數(shù)的單調(diào)性可知，
h（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，
故h_min（x）=h（1）=1-m²+2m≥1，
故0≤m≤2，
故1＜m≤2；
當(dāng)m≥3時(shí)，h（x）=x-$\frac{{m}^{2}}{x}$+2m在[1，3]上單調(diào)遞增，
故h_min（x）=h（1）=1-m²+2m≥1，
故0≤m≤2，
故無解，
綜上所述，m≤2．
故答案為：m≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，關(guān)鍵在于化為最值問題．