Question

3．有如下幾個命題：
①函數(shù)$f（x）=3sin（2x-\frac{π}{6}）+1$的一個對稱軸為$x=\frac{π}{3}$；
②已知點A（2，-3），B（-3，-2），直線l：mx+y-m-1=0與線段AB相交，則直線l的斜率的范圍是$[{-4，\frac{3}{4}}]$；
③若實數(shù)a+b=2，a，b為正數(shù)，則$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值為$\frac{9}{2}$；
④實數(shù)x，y滿足3x+4y+6=0，則x²+y²+2x+4y+5的最小值為$\frac{4}{25}$；
⑤已知數(shù)列{a_n}的前n項和${S_n}={n^2}+3n-1$，則a_n=2n+1．
其中，所有正確的命題是①③．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 ①利用正弦函數(shù)圖象性質(zhì)，過最值點的直線是函數(shù)的對稱軸，把$x=\frac{π}{3}$代人得：3sin$\frac{π}{2}$+!，取到最大值，是函數(shù)的一個對稱軸；
②直線l：mx+y-m-1=0，m（x-1）+（y-1）=0 經(jīng)過定點P（1，1），利用數(shù)學(xué)結(jié)合可得斜率的范圍是（$\frac{3}{4}$，+∞）和（-∞，-4）；
③代換a+b=2可得$\frac{1}{a}+\frac{4}$=$\frac{a+b}{2a}+\frac{2（a+b）}$=$\frac{5}{2}$$+\frac{2a}$$+\frac{2a}$≥$\frac{9}{2}$；
④x²+y²+2x+4y+5=（x+1）²+（y+2）²，是直線3x+4y+6=0上的點到定點（-1，-2）的距離的平方，利用點到直線的距離公式可求；
⑤當(dāng)n=1是，s₁=3，a₁=3，當(dāng)n＞1時，a_n=s_n-s_n-1

解答 解：①把$x=\frac{π}{3}$代人得：3sin$\frac{π}{2}$+!，取到最大值，是函數(shù)的一個對稱軸，故正確；
②直線l：mx+y-m-1=0
m（x-1）+（y-1）=0 經(jīng)過定點P（1，1）
k_PA=-4，k_PB=$\frac{3}{4}$，
∴斜率的范圍是（$\frac{3}{4}$，+∞）和（-∞，-4），故錯誤；
③$\frac{1}{a}+\frac{4}$=$\frac{a+b}{2a}+\frac{2（a+b）}$=$\frac{5}{2}$$+\frac{2a}$$+\frac{2a}$≥$\frac{9}{2}$，故正確；
④x²+y²+2x+4y+5=（x+1）²+（y+2）²，是直線3x+4y+6=0上的點到定點（-1，-2）的距離的平方，
∴最小值為垂涎段長的平方為1，故錯誤；
⑤當(dāng)n=1是，s₁=3，a₁=3，
當(dāng)n＞1時，a_n=s_n-s_n-1=2n+2，故錯誤．
故答案為①③．

點評 考查了對稱軸和數(shù)列通項的求法和數(shù)學(xué)結(jié)合的應(yīng)用．綜合性強(qiáng)，考場知識點多．