Question

16．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是平面內(nèi)互不相等的兩個(gè)非零向量，且|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角為150°，則|$\overrightarrow$|的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\sqrt{3}$]
• B． [1，$\sqrt{3}$]
• C． （0，2]
• D． [$\sqrt{3}$，2]

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，則$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$．由于|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角為150°，可得△OAB中，OA=1，∠OBA=30°．由正弦定理可得：△OAB的外接圓的半徑r=1．則點(diǎn)B為圓上的動(dòng)點(diǎn)．由圖可令$\overrightarrow=\overrightarrow{OB}$=（1+cosθ，sinθ），則|$\overrightarrow$|的取值范圍可求．

解答 解：如圖所示，設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，則$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$．
由于|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角為150°，可得△OAB中，OA=1，∠OBA=30°．
由正弦定理可得：△OAB的外接圓的半徑r=1．則點(diǎn)B為圓上的動(dòng)點(diǎn)．
由圖可令$\overrightarrow=\overrightarrow{OB}$=（1+cosθ，sinθ），
則$|\overrightarrow|=\sqrt{（1+cosθ）^{2}+si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{2+2cosθ}$．
∴$|\overrightarrow|∈（0，2]$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理、三角形外接圓的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于有一定難題題目．