Question

17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．現(xiàn)給出如下條件：①2b=a+c：②b²=ac ③2b²=a²+c²④$\frac{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$．這四個條件中能推出內(nèi)角B的范圍恰為（0，$\frac{π}{3}$]的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，判斷cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$≥$\frac{1}{2}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$
①2b=a+c，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{3{a}^{2}+3{c}^{2}-2ac}{8ac}$≥$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]，正確；
②b²=ac，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$≥$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]，正確；
 ③2b²=a²+c²，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$≥$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]，正確；
④$\frac{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ac}}$．cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$≥1-$\frac{^{2}}{2ac}$≥$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]，正確；
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查余弦定理，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．