【題目】在平面直角坐標系中，已知、分別為橢圓的左、右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于直線于點，線段的中垂線交于點.記點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程，并說明是什么曲線；

（2）若直線與曲線交于兩點、，則在圓上是否存在兩點、，使得，？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）；是以為焦點，為準線的拋物線（2）存在；

【解析】

（1）根據(jù)題意可得，再根據(jù)拋物線的定義即可求出曲線的方程.

（2）將直線與曲線：聯(lián)立，由直線與曲線交于點，，，利用韋達定理可得，從而求出的中垂線方程，由，，可得的中垂線與圓交于兩點、，利用點到直線的距離公式使圓心到直線的距離小于半徑即可求解.

（1）由題意，得，則動點的軌跡是以為焦點，

為準線的拋物線，所以點的軌跡的方程為.

（2）由得.

由直線與曲線交于點，，

得，解得.

由韋達定理，得.

設的中點為，

則，，

即，

所以的中垂線方程為，即，

由，，得的中垂線與圓交于兩點、，

所以，解得.

由①和②，得.

綜上，當時，圓上存在兩點、，使得，.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）當時，是什么曲線？

（2）當時，求與的公共點的直角坐標．

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【題目】已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．

（1）求的方程；

（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．

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【題目】中學為研究學生的身體素質與體育鍛煉時間的關系，對該校200名高三學生平均每天體育鍛煉時間進行調查，如表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）

平均每天鍛煉的時間/分鐘

總人數(shù)

20

36

44

50

40

10

將學生日均體育鍛煉時間在的學生評價為“鍛煉達標”.

（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表；

鍛煉不達標

鍛煉達標

合計

男

女

20

110

合計

并通過計算判斷，是否能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為“鍛煉達標”與性別有關？

（2）在“鍛煉達標”的學生中，按男女用分層抽樣方法抽出10人，進行體育鍛煉體會交流，

（i）求這10人中，男生、女生各有多少人？

（ii）從參加體會交流的10人中，隨機選出2人作重點發(fā)言，記這2人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.

參考公式：，其中.

臨界值表

0.10

0.05

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且長度單位相同.

（1）求圓的極坐標方程；

（2）若直線：（為參數(shù)）被圓截得的弦長為2，求直線的傾斜角.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知斜率為1的直線交拋物線：（）于，兩點，且弦中點的縱坐標為2.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）記點，過點作兩條直線，分別交拋物線于，（，不同于點）兩點，且的平分線與軸垂直，求證：直線的斜率為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)f（x）滿足f（x）＝f（2﹣x），導函數(shù)為f′（x）．當x＞1時，2f（x）+（x﹣1）f′（x）＞0，且f（﹣1），則不等式f（x）＜6（x﹣1）﹣2的解集為（ ）

A.（﹣1，1）∪（1，4）B.（﹣1，1）∪（1，3）

C.（，1）∪（1，2）D.（，1）∪（1，）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知無窮數(shù)列的前項中的最大項為，最小項為，設.

（1）若，求數(shù)列的通項公式；

（2）若，求數(shù)列的前項和；

（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知正四面體的棱長為2，是棱上一動點，若于，則線段的長度的最小值是______

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