Question

19．在直角坐標(biāo)系xoy中，圓C₁：x²+y²=4，圓C₂：x²+y²=16，點(diǎn)M（1，0），動點(diǎn)P，Q分別在圓C₁和圓C₂上，滿足MP⊥MQ，則線段PQ的取值范圍是[$\sqrt{19}$-1，$\sqrt{19}$+1]．

Answer 1

分析 設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），有條件可得|PQ|² =22-2（x₁+x₂）．設(shè)PQ中點(diǎn)為N（x₀，y₀），則|PQ|²=22-4x₀ ，利用線段的中點(diǎn)公式求得（x₀-$\frac{1}{2}$）²+y₀²=$\frac{19}{4}$，再由x₀ 的范圍，求得|PQ|的范圍．

解答 解：設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），則|PQ|²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=20-2（x₁x₂+y₁y₂）．
∵-2≤x₁≤2，MP⊥MQ，
∴（x₁-1，y₁）．（x₂-1，y₂）=0，即 （x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，即 x₁x₂+y₁y₂=x₁+x₂-1，
∴|PQ|²=20-2（x₁+x₂-1）=22-2（x₁+x₂）．
設(shè)PQ中點(diǎn)為N（x₀，y₀），則|PQ|²=22-4x₀ ，
∵$\left\{\begin{array}{l}{{2x}_{0}{=x}_{1}{+x}_{2}…①}\\{{2y}_{0}{=y}_{1}{+y}_{2}…②}\end{array}\right.$，
∴①²+②²得 4（x₀²+y₀²）=20+2（x₁x₂+y₁y₂）=20+2（x₁+x₂-1）=18+4x₀，即（x₀-$\frac{1}{2}$）²+y₀²=$\frac{19}{4}$，
∴點(diǎn)N（x₀，y₀）的軌跡是以（ $\frac{1}{2}$，0）為圓心、半徑等于$\frac{\sqrt{19}}{2}$的圓，
∴x₀的取值范圍是[$\frac{1-\sqrt{19}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{19}}{2}$]，故 22-2$\sqrt{19}$≤|PQ|²≤20+2$\sqrt{19}$，
故|PQ|的范圍為[$\sqrt{19}$-1，$\sqrt{19}$+1]，
故答案為：[$\sqrt{19}$-1，$\sqrt{19}$+1]．

點(diǎn)評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，兩點(diǎn)間的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．