Question

3．（I）如表所示是某市最近5年個(gè)人年平均收入表節(jié)選．求y關(guān)于x的回歸直線方程，并估計(jì)第6年該市的個(gè)人年平均收入（保留三位有效數(shù)字）．

年份x	1	2	3	4	5
收入y（千元）	21	24	27	29	31

其中$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=421，$\sum_{i=1}^{5}$x_i²=55，$\overline{y}$=26.4
附1：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$
（II）如表是從調(diào)查某行業(yè)個(gè)人平均收入與接受專業(yè)培訓(xùn)時(shí)間關(guān)系得到2×2列聯(lián)表：

	受培時(shí)間一年以上	受培時(shí)間不足一年	總計(jì)
收入不低于平均值	60	20	80
收入低于平均值	10	10	20
總計(jì)	70	30	100

完成上表，并回答：能否在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“收入與接受培訓(xùn)時(shí)間有關(guān)系”．
附2：

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.10	0.05	0.01	0.005
k0	0.455	0.708	2.706	3.841	6.635	7.879

附3：
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．（n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （I）由表數(shù)據(jù)求得樣本中心點(diǎn)（$\overline{x}$，$\overline{y}$），利用最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)$\stackrel{∧}$，將樣本中心點(diǎn)代入，求出$\stackrel{∧}{a}$的值，寫出線性回歸方程；
（II）由數(shù)據(jù)將表填完整，通過(guò)所給的數(shù)據(jù)計(jì)算K²觀測(cè)值，同臨界值表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，可得到結(jié)論．

解答 解：（I）由已知中數(shù)據(jù)可得：$\overline x=3，\overline y=26.4$，…（1分）
∵$\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}=421，\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=55$，
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}-5\bar x}\bar y}}{{\sum_{i=1}^5{{x_i}^2-5{{\bar x}^2}}}}=\frac{25}{10}=2.5$…（3分）
$\hat a=\hat y-\hat b\overline{x}=26.4-7.5=18.9$，…（4分）
∴$\hat y=2.5x+18.9$，…（5分）
當(dāng)x=6時(shí)，$\hat y$=33.9．
即第6年該市的個(gè)人年平均收入約為33.9千元；…（6分）
（II）某行業(yè)個(gè)人平均收入與接受專業(yè)培訓(xùn)時(shí)間關(guān)系得到2×2列聯(lián)表：

	受培時(shí)間一年以上	受培時(shí)間不足一年	合計(jì)
收入不低于平均值	60	20	80
收入低于平均值	10	10	20
合計(jì)	70	30	100

…（7分）
假設(shè)H₀：“收入與接受培訓(xùn)時(shí)間沒有關(guān)系”…（8分）
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K²的觀測(cè)值為K²=$\frac{100×（{60×10-10×20）}^{2}}{70×30×20×80}$≈4.762＞3.841．…（10分）
∴P（K²＞3.841）≤0.05…（11分）
故在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.05的前提下我們認(rèn)為“收入與接受培訓(xùn)時(shí)間有關(guān)系”． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)是回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)，計(jì)算量較大，屬于中檔題．