Question

如圖，在多面體ABCDE中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1
（Ⅰ）求二面角C-BD-A的大��；  
（Ⅱ）求直線CE與平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，AB為y軸，AE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C-BD-A的大�。�
（Ⅱ）

CE

=（-

3

，-1，1），平面CBD的法向量

n

=（

3

，3，0），由此利用向量法能示出直線CE與平面BCD所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，AB為y軸，AE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得C（

3

，1，0），B（0，2，0），
D（0，2，2），E（0，0，1），

BC

=（

3

，-1，0），

BD

=（0，0，2），
設(shè)平面CBD的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BC = 3 x-y=0 n • BD =2z=0

，
取x=

3

，得

n

=（

3

，3，0），
又平面ABD的法向量

m

=(1，0，0)，
設(shè)二面角C-BD-A的大小為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

3

12

|=

1

2

，
∴二面角C-BD-A的大小為60°．
（Ⅱ）

CE

=（-

3

，-1，1），平面CBD的法向量

n

=（

3

，3，0），
設(shè)直線CE與平面BCD所成角為α，
則sinα=|cos＜

CE

，

n

＞|=|

-3-3

5 • 12

|=

15

5

．
∴直線CE與平面BCD所成角的正弦值為

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的大小的求法，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．