Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若AF⊥BF，設(shè)∠ABF=α，且α∈[

π

6

，

π

4

]，則該橢圓離心率e的取值范圍為（　　）

• A、[

  2

  2

  ，

  3

  -1]
• B、[

  2

  2

  ，1)
• C、[

  2

  2

  ，

  3

  2

  ]
• D、[

  3

  3

  ，

  6

  3

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先利用已知條件設(shè)出橢圓的左焦點(diǎn)，進(jìn)一步根據(jù)垂直的條件得到長(zhǎng)方形，所以：AB=NF，再根據(jù)橢圓的定義：|AF|+|AN|=2a，由離心率公式e=

2c

2a

=

1

sinα+cosα

=

1

2 sin(α+ π 4 )

由α∈[

π

6

，

π

4

]的范圍，進(jìn)一步求出結(jié)論．

解答： 解：已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為：N
則：連接AF，AN，AF，BF
所以：四邊形AFNB為長(zhǎng)方形．
根據(jù)橢圓的定義：|AF|+|AN|=2a
∠ABF=α，則：∠ANF=α．
所以：2a=2ccosα+2csinα
利用e=

2c

2a

=

1

sinα+cosα

=

1

2 sin(α+ π 4 )

α∈[

π

6

，

π

4

]
所以：

5π

12

≤α+

π

4

≤

π

2

則：

2

2

≤

1

2 sin(α+ π 4 )

≤

3

-1
即：橢圓離心率e的取值范圍為[

2

2

，

3

-1]
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：橢圓的定義，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用定義域求三角函數(shù)的值域，離心率公式的應(yīng)用，屬于中檔題型．