Question

已知集合A={x|（a-2）x²+2x+1=0}只有一個元素
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）=x^a+x-a在區(qū)間[-2，-1]上是減函數(shù)，解不等式：f（-b^x）＜f（-b^x+1）（b＞0，b≠1）

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),元素與集合關(guān)系的判斷

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用,集合

分析：（1）討論a-2=0，a-2≠0，判別式為0，即可得到a；
（2）討論a=2，3函數(shù)的單調(diào)性，判斷得到a=2，再令t=-b^x（t＜0），轉(zhuǎn)化為t的不等式，求出t的范圍，再討論b＞1，0＜b＜1，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可解得．

解答： 解：（1）集合A={x|（a-2）x²+2x+1=0}只有一個元素，
則當(dāng)a-2=0，即a=2，A={-

1

2

}，滿足條件；
當(dāng)a-2≠0，則判別式為0，即有4-4（a-2）=0，解得，a=3，此時A={-1}，滿足條件．
則a=2或3；
（2）若a=3，則f（x）=x³+x-3，f′（x）=3x²+1＞0，則f（x）遞增，不滿足條件，則a=3舍去；
若a=2，則f（x）=x²+x-2在區(qū)間[-2，-1]上是減函數(shù)，滿足條件．
令t=-b^x（t＜0），則不等式f（-b^x）＜f（-b^x+1）即為f（t）＜f（1+t），
即有t²+t-2＜（1+t）²+1+t-2，解得，-1＜t＜0，
即有-1＜-b^x＜0，
即有0＜b^x＜1，
當(dāng)b＞1時，解得，x＜0；當(dāng)0＜b＜1時，x＞0．
則有b＞1時，不等式的解集為（-∞，0）；
當(dāng)0＜b＜1時，不等式的解集為（0，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，考查集合中元素的個數(shù)問題，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．