Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=0，[xf（x）]′＞0（x＞0）則不等式f（x）≥0的解集是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：x＞0時(shí)，設(shè)g（x）=xf（x），得g′（x）＞0，g（x）是增函數(shù)；
由題意得x≥1時(shí)，xf（x）≥0，即f（x）≥0；0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0；
由奇函數(shù)的對(duì)稱性得，-1≤x≤0時(shí)，f（x）≥0；從而得f（x）≥0的解集．

解答： 解：∵f（x）是定義在R時(shí)的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，且f（-1）=-f（1）=0；
當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)g（x）=xf（x），
∵g′（x）=[xf（x）]′＞0，∴g（x）是增函數(shù)；
又∵g（1）=1•f（1）=0；
∴x≥1時(shí)，xf（x）≥0，
∴f（x）≥0；
∴對(duì)于x＞0，在0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0，x≥1時(shí)，f（x）≥0；
由奇函數(shù)的對(duì)稱性得，-1≤x≤0時(shí)，f（x）≥0；
綜上，f（x）≥0的解集是{x|-1≤x≤0，或x≥1}．
故答案為：[-1，0]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)構(gòu)造函數(shù)，判定出x＞0時(shí)，f（x）≥0與f（x）＜0的情況，是難題．